微分方程式→伝達関数→状態方程式：動的システムのモデリング

ラズパイとPythonで一緒に！センサ・フュージョン入門

微分方程式は動的システムの出発点

動的システムのモデリングは，微分方程式から始まります．運動や電気回路，熱の伝達は，時間変化を含む関係として表されます．入力を $u$，出力を $y$ と整理すると，微分方程式は「入力が時間を通じて出力にどう影響するか」を示す記述です．この段階では，システムの物理的な意味が分かりやすく，質量や抵抗，摩擦といった要素が直接現れます．

一方で，微分方程式のままでは制御設計や解析が難しい場面があります．時間領域での変化を追う必要があり，応答の特徴を直感的に比較しにくいからです．このため，別の表現へ変換する手順が使われます．

伝達関数は入出力の関係を整理

微分方程式をラプラス変換すると，伝達関数という表現に変わります．ここでは初期値を $0$ と仮定し，入力と出力の関係だけに注目します．時間微分は複素変数に置き換えられ，微分方程式は代数的な形で整理されます．この変換によって，入力 $U$ と出力 $Y$ の比としてシステムの性質を表せます．

伝達関数は，周波数応答や安定性の議論に向いた表現です．入力に対して出力がどの程度増幅されるか，どの周波数で振る舞いが変わるかを一目で整理できます．制御器の設計では，この表現を使って応答の速さや振動の有無を検討します．

1. 微分方程式：物理的意味を直接表す表現
2. 伝達関数：入出力の関係を簡潔に示す表現
3. 解析用途：安定性や応答特性の確認に向く

状態方程式は内部状態を明示

伝達関数は入出力の関係を示しますが，内部で何が起きているかは直接表しません．この内部の振る舞いを明示するのが状態方程式です．状態方程式では，システムの内部状態を変数として定義し，その時間更新を記述します．この表現は，動的システムが持つ「記憶」を明確にします．

状態方程式は，オブザーバやカルマン・フィルタといった状態推定の基盤です．ラズパイとPythonで制御や推定を実装する場合，離散時間の状態方程式として扱うことが一般的です．入力，状態，出力の関係が整理され，センサ・フュージョンとも結びつきやすい表現です．

1. 状態：過去の影響を蓄えた内部変数
2. 状態方程式：状態の更新と出力の関係を示す
3. 推定と制御：同じ枠組みで扱える表現

表現を使い分ける設計の視点

微分方程式，伝達関数，状態方程式は，同じシステムを異なる視点で表したものです．物理理解には微分方程式，周波数特性の確認には伝達関数，推定や制御の実装には状態方程式が向いています．目的に応じて表現を切り替えることが，体系的な設計につながります．

ラズパイとPythonの環境では，これらの表現を行き来しながら設計を進められます．モデルを変換して理解を深めることが，動的システムを制御する力の基礎です．

〈ZEPマガジン〉

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参考文献

1. ［VOD/Pi KIT］MATLAB/Simulink×ラズパイで学ぶロボット制御入門，ZEPエンジニアリング株式会社．
2. ［VOD/KIT］MATLAB/Simulink×ラズパイで学ぶロボット制御入門，ZEPエンジニアリング株式会社．
3. ［VOD/Pi400 KIT］SLAMロボット＆ラズパイ付き！ROSプログラミング超入門，ZEPエンジニアリング株式会社．
4. ［VOD/KIT］確率・統計処理＆真値推定！自動運転時代のカルマン・フィルタ入門，ZEPエンジニアリング株式会社．